प्रारम्भिक जीवन
कार्लिन का जन्म मैनहट्टन में हुआ था, वे मैरी बेरी, एक सचिव और न्यूयार्क सन के राष्ट्रीय विज्ञापन प्रबंधक पैट्रिक कार्लिन के दूसरे बेटे थे। कार्लिन आयरिश मूल के थे पर उनकी परवरिश रोमन कैथोलिक की तरह हुई. कार्लिन मैनहट्टन के पड़ोस में वेस्ट 121 वीं स्ट्रीट पर बड़े हुए, जिसे बाद में एक स्टैंड अप रुटीन में उन्होंने अपने दोस्तों के साथ “व्हाइट हार्लेम” कहा, क्योंकि वह उसके असली नाम मॉर्निंगसाइड हाइट्स से अधिक मुश्किल लग रहा था।
उनकी परवरिश उनकी मां ने की थी, जिन्होंने कार्लिन के पिता को तब छोड़ा था जब कार्लिन दो महीने के थे। 15 की उम्र में तीन अर्ध वार्षिक पाठ्यक्रम करने के बाद, कार्लिन ने अनायास ही कार्डिनल हेस हाई स्कूल छोड़ दिया और हार्लेम में कुछ समय के लिए बिशॉप डुबोस हाई स्कूल में पढने गए।
नाम :– जॉर्ज डेनिस पैट्रिक कार्लिन।
जन्म :– 12 मई 1937, मैनहट्टन।
पिता : पैट्रिक कार्लिन ।
माता : ।
पत्नी/पति : ।
अपनी मां के साथ कार्लिन का रिश्ता मुश्किल भरा था जिसकी वजह से वे अक्सर घर से भाग जाते थे। बाद में वे संयुक्त राज्य की वायु सेना में भर्ती हो गये और रडार तकनीशियन के रूप में प्रशिक्षित हुए. वह लुइसियाना के बॉसियर शहर में बार्क्सडेल एयर फोर्स बेस पर तैनात थे। कैन्टर ने पहली बार सेट थ्योरी को परिभाषित किया, जो आधुनिक गणित का आधार है. इसकी उपयोगिता इसी से समझी जा सकती है की सेट थ्योरी के बिना न तो कंप्यूटर अस्तित्व में आते और न ही ब्रह्माण्ड की गुत्थियाँ सुलझाना मुमकिन था. उसके सिद्धांतों ने गणित की महत्वपूर्ण शाखाओं बीजगणित, कैलकुलस और टोपोलोजी को एक दूसरे में पिरोने में योगदान दिया.
कैन्टर ने सिद्ध किया की परिमेय संख्याएं काउन्टेबिल (Countable), गिनने योग्य, होती हैं, जबकि अपरिमेय संख्याएं अन्काउन्टेबिल (Uncountable), न गिनने योग्य, होती हैं. काउन्टेबिल ऐसी संख्याओं को कहते हैं जिन्हें एक आर्डर में रखकर बताया जा सकता है की एक संख्या के बाद अगली संख्या क्या होगी. जबकि अन्काउन्टेबिल में ऐसा कोई आर्डर बनाना संभव नहीं होता. उदाहरण के लिए शून्य के बाद अगली वास्तविक संख्या कौन सी है, यह बताना असंभव है. अतः वास्तविक संख्याओं का सेट अन्काउन्टेबिल होता है.
कैंटोर को 1872 में हेल में असाधारण प्रोफेसर पदोन्नत किया गया था और उस वर्ष उन्होंने डेडिकेन्द के साथ दोस्ती शुरू की थी, जिसे वह स्विट्जरलैंड में छुट्टी पर मिले थे। कैंटोर ने 1872 में त्रिकोणमितीय श्रृंखला पर एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने तर्कसंगत संख्याओं के अभिसरण अनुक्रमों के संदर्भ में तर्कहीन संख्याओं को परिभाषित किया।
डेडेकेंड ने 1872 में “डेडेकेंड कट्स” द्वारा वास्तविक संख्याओं की अपनी परिभाषा प्रकाशित की और इस पेपर में डेडेकेंड कैंटोर के 1872 पेपर को संदर्भित करता है जिसे कैंटोर ने उसे भेजा था।
1873 में कैंटोर ने तर्कसंगत संख्याओं को गणनीय साबित कर दिया, यानी उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। उन्होंने यह भी दिखाया कि बीजगणितीय संख्या, यानी संख्याएं जो पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद समीकरणों की जड़ें हैं, गणनीय थे।
हालांकि यह तय करने का प्रयास है कि असली संख्याएं गणनीय थीं या नहीं। उन्होंने साबित कर दिया था कि असली संख्या दिसंबर 1873 तक गणना योग्य नहीं थी और इसे 1874 में एक पेपर में प्रकाशित किया गया था। यह इस पेपर में है कि पहली बार एक-एक पत्राचार का विचार दिखाई देता है, लेकिन यह केवल इस काम में निहित है ।
उन्होंने 1874 में सेट सिद्धांत के रूप में जाना जाने पर अपना काम शुरू किया। ब्रंसविक तकनीकी संस्थान के गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकेंड के साथ कैंटोर का पत्राचार, सेट के सिद्धांत पर उनके दिमाग के विचारों में ट्रिगर हुआ। 1874 में, उन्होंने एक लेख ‘ऑन अ प्रॉपर्टी ऑफ द कलेक्शन ऑफ ऑल रियल बीजगणितीय संख्या’ प्रकाशित किया, जिसने गणित की शाखा के रूप में सेट सिद्धांत की शुरुआत को चिह्नित किया।
लेख में एक कठोर प्रमाण प्रदान किया गया कि एक से अधिक प्रकार की अनंतता थी। इस काम के माध्यम से उन्होंने साबित किया कि वास्तविक संख्याएं गणनीय नहीं हैं। लेख एक से अधिक तरीकों से मौलिक था। इसमें अनुवांशिक संख्याओं का निर्माण करने की एक नई विधि भी शामिल थी जिसे पहली बार 1844 में जोसेफ लिउविल द्वारा बनाया गया था।